Математик

Чөлөөт нэвтэрхий толь, Википедиагаас

МЭӨ III зууны Грекийн математикч, геометрын эцэг хэмээн нэрлэгддэг Евклид, Рафаелийн Афины сургууль зургийн нэгэн хэсэг дээр дүрслэгдсэн байгаа нь.

Математик (Грек: μάθημα, Англи: mathematics, Орос: математика) буюу Тоон ухаан нь тоо хэмжээ, бүтэц, огторгуй, өөрчлөлт зэрэг ойлголтууд дээр төвлөрсөн мэдлэгийн цогц, мөн тэдгээрийн тухай судалдаг шинжлэх ухаан юм. Бенжамин Пиерс математикийг "зайлшгүй дүгнэлтүүдийг гаргадаг шинжлэх ухаан" хэмээсэн.^[1] Линн Стийн^[2] ба Кейт Девлин^[3] нар математик нь зүй тогтлын шинжлэх ухаан бөгөөд тоонууд, огторгуй, шинжлэх ухаан, компьютер, эсвэл хийсвэр зүйлүүдэд зүй тогтлуудыг эрдэг гэж үзсэн.
Математик нь тоолох, тооцоолох ба хэмжих үйлдлүүд, мөн физик объектуудын хэлбэр дүрс ба хөдөлгөөний системтэй судалгаан дээр хийсвэрлэл, логик сэтгэлгээг хэрэглэсний үр дүнд үүссэн. Математикчид эдгээр ойлголтуудын талаар шинэ таамаглал дэвшүүлж, тэдгээрийн үнэн болохыг зохих аксиомууд ба тодорхойлолтуудаас логик дүрмүүдийг чанд баримтлан батлах зорилготой судалгаа хийдэг.^[4]
Математикийн наад захын хэмжээний мэдлэг ба хэрэглээ нь хувь хүн болон нийгмийн зайлшгүй чухал хэсэг болсоор ирсэн. Энэ үндсэн санаануудын сайжруулсан хэлбэр эртний Египет, Вавилон, Энэтхэг, Хятад ба Грекийн ном судруудад хадгалагдан үлдсэн байдаг. Хамгийн анх Евклид "Эхлэл" бүтээлдээ логикийн хатуу чанд хэрэглээ ямар байх ёстойг харуулсан. Үүнээс хойш математикт том дэвшил гарах нь их цөөн байж байгаад XVI зууны Сэргэн Мандлын Үед математикийн шинэчлэл дараа дараагаараа гарч байсан шинжлэх ухааны нээлтүүдтэй харилцан үйлчилсний дүнд өнөөг хүртэл үргэлжилсэн их хурдацтай судалгааг эхлүүлсэн юм.^[5]
Өнөөдөр математик нь байгалийн шинжлэх ухаан, инженерчлэл, анагаах ухаан, эдийн засаг гэх мэт олон салбаруудад дэлхий даяар хэрэглэгдэж байна. Математикийг эдгээр салбарт хэрэглэснийг ихэвчлэн хэрэглээний математик гэдэг ба энэ нь математикийн нээлтүүдийг хэрэглэдэг, уг нээлтүүдэд хүргэдэг, заримдаа цоо шинэ шинжлэх ухааныг ч төрүүлдэг математикийн нэг салбар юм. Математикчид мөн цэвэр математикийн, өөрөөр хэлбэл юунд хэрэглэхийг нь харгалзахгүйгээр зөвхөн математикийг өөрийг нь судлах судалгаа хийдэг. Сонирхолтой нь цэвэр математикийн ихэнх судалгаанууд эрт орой хэзээ нэгэн цагт амьдрал практикт хэрэглэгддэг байна.^[6] Математикийн гоо сайхан чанар нь математикчдын мэргэжилдээ дурлах гол шалтгаан болдог.

Агуулга

Математик хэмээх нэрний учир

Манай орон төдийгүй дэлхийн ихэнх оронд хэрэглэгддэг «математик» гэдэг үг нь эртний грек хэлний μάθημα (máthema, монголоор: сурах, судлах, шинжлэх) ба холбогдох тэмдэг нэр болох μαθηματικός (mathēmatikós, монголоор: сурах, судлахтай холбоотой) гэдгээс гаралтай.

Түүх

Дундад эртний үед Өмнөд Америкт оршин тогтнож байсан Инкагийн Эзэнт Гүрэнд тоолохдоо олсон зангилаанаас бүтсэн "куипу" гэгдэх энэхүү багажийг хэрэглэдэг байв

Бүх математикийн түүхийг төвшин нь улам улам өндөрсөх хийсвэрлэлүүдийн дараалал, эсвэл судлах зүйлүүдийнх нь хүрээ яаж өргөссөн тухай түүх гэж үзэж болно. Хамгийн анхны хийсвэрлэл нь тоо байсан байж мэднэ. Гурван үхэр ба гурван чулууны хооронд ямар нэг ерөнхий зүйл байгааг ойлгосон явдал хүний сэтгэхүйд гарсан том үсрэлтүүдийн нэг байсан юм. Бодит физик объектуудыг тоолж сураад зогсохгүй эртний хүмүүс хийсвэр хэмжигдэхүүнүүдийг тоолж эхэлсэн. Жишээлбэл цаг хугацааг тоолохын тулд өдөр, сар, жил хэмээх ойлголтуудыг хэрэглэж ирсэн. Үүний дараа арифметик (нэмэх, хасах, үржих, хуваах) хөгжсөн ба эртний балгасын ул мөрүүд тэр үеийн хүмүүс геометрийн мэдлэгтэй байсныг гэрчилдэг.
Цаашилбал тоонуудыг бүртгэж авах ямар нэг арга, жишээлбэл бичих, жижиг чулуунууд ашиглах, эсвэл Инкагийн Эзэнт Гүрэнд хэрэглэдэг байсан шиг куйпу гэгдэх олсон зангилаа хэрэг болж эхэлсэн байна. Энэ явцдаа хүн төрөлхтөн төрөл бүрийн тооллын системүүдийг зохиожээ.
Түүхэнд тэмдэглэгдэж үлдсэнээр математикт хамрагдах гол салбарууд татвар ба худалдаатай холбоотой тооцоо хийх, тоонуудын хоорондох харьцаа хамаарлуудыг ойлгох, газрыг хэмжих, одон орны үзэгдлүүдийг урьдчилан хэлэх шаардлагуудаас үүдэн бий болсон аж. Эдгээр шаардлагуудыг барагцаагаар тоо хэмжээ, бүтэц, огторгуй, ба өөрчлөлтийн судалгаануудад харгалзуулж болж байгааг анзаараарай.
Энэ үеэс хойш математик асар ихээр өргөжсөн бөгөөд математик ба шинжлэх ухаанууд хоорондоо нягт холбоотойгоор хөгжсөн. Математикийн нээлтүүд түүхийн туршид хийгдэж ирсэн ба одоо ч хийгдсээр байгаа. Америкийн Математикийн Нийгэмлэгийн Мэдээ сэтгүүлийн 2006 оны 1-р сарын дугаарт Михайл Б. Севрюкийн бичсэнээр "Математикийн Судалгаа санд 1940 （энэ сангийн ажиллаж эхэлсэн жил）оноос хойш хамрагдсан ном хэвлэлүүдийн тоо нь одоо 1.9 саяыг даваад байгаа ба жил бүр 75 мянган ном хэвлэл нэмэгдэж байна. Энэ их далай дахь ажлууд бараг бүгдээрээ математикийн теоремууд ба тэдгээрийн баталгаануудыг агуулдаг".^[7]

Гадны нөлөөлөл, цэвэр ба хэрэглээний математик, гоо сайхан

Исаак Ньютон (1643-1727), бүх үеийн хамгийн агуу физикч, интеграл ба дифференциал тооллыг үндэслэгчдийн нэг.

Хопфын тор.

Хаана л тоо хэмжээ, бүтэц, огторгуй, эсвэл өөрчлөлт оролцсон хэцүү бодлогууд байна тэнд математик илэрдэг. Ийм бодлогууд эхлээд худалдаа, газар хэмжилт, сүүлд одон оронд олддог байсан бөгөөд одоо үед бүх шинжлэх ухаан, түүнчлэн математик өөрөө төрөл бүрийн математикийн бодлогуудын эх үүсвэр болдог. Тухайлбал Исаак Ньютон интеграл ба дифференциал тооллыг үндэслэгчдийн нэг байсан, Фейнманы замын интегралыг физик сэтгэлгээний үндсэн дээр Фейнман оруулсан, мөн өнөөгийн утасны онол шинэ математикийг бий болгоход нөлөөлж байна. Математикийн зарим онолууд зөвхөн түүнийг бий болгоход нөлөөлсөн талбарт л ашиглагддаг бол ихэнх онолууд бусад олон талбарт мөн ашиглагддаг. "Хамгийн цэвэр" математикт ч хэзээ нэгэн цагт ашиглагдах газар олддог явдлыг Евген Вигнер математикийн ер бусын хэмнэлттэй байдал гэж нэрлэсэн.
Математикийг дотор нь барагцаагаар цэвэр математик ба хэрэглээний математик гэж хоёр том хэсэгт хуваадаг. Хэрэглээний математикийн олон салбар математикийн гаднах харгалзах шинжлэх ухаануудтай нийлж статистик, үйлдлийн судалгаа, компьютер судлал гэх мэт биеэ даасан шинэ шинжлэх ухаанууд болж хөгжсөн.
Математикт энгийн байдал ба ерөнхий байдал чухал. Мөн Евклидийн энгийн тооны тоог хязгааргүй гэж баталсан баталгаа шиг ур ухаан шаардсан баталгаа, Фурьегийн хурдан хувиргалт шиг тооцооллыг хурдасгах аргуудад гоо сайхан чанар бий. Ихэнх математикчид өөрийн ажлаас болон математикаас гоо сайхны таашаал авдаг. Зарим математикчид математикийг урлагийн төрөл, ядаж л бүтээлч үйл ажиллагаа гэж үздэг бөгөөд математикийг хөгжим ба яруу найрагтай жишдэг.
Бертранд Рассел математикийн гоо сайхныг ингэж илэрхийлжээ:

Математикийг зөвөөр харвал энэ нь зөвхөн үнэнийг агуулаад зогсохгүй дээд гоо сайхан - баримал мэт хүйтэн бөгөөд хатуу чанд, бидний сул байдлын аль ч талтай холбоогүй, зураг эсвэл хөгжим шиг элдэв гоёл чимэглэл байхгүй боловч гайхамшигтай цэвэр бөгөөд зөвхөн хамгийн сайн урлагтай зүйрлэж болохоор гуйвшгүй төгс төгөлдөр байдалтай холбоотой тийм гоо сайхныг агуулдаг. Хамгийн дээд давамгайллын жишиг болсон жинхэнэ баяр бахдал, сэтгэлийн хөөрөл, мах цуснаас бүтсэн хүнээс илүү болохоо мэдрэх мэдрэмжийг математикаас яруу найрагтай адилаар олж болно.

Поль Эрдос ингэж хэлсэн байна: "Тоонууд яагаад сайхан гэж? Энэ нь яагаад Бетховений 9-р симфони сайхан бэ гэж асуусантай адил. Хэрэв чи яагаад гэдгийг нь харахгүй байгаа бол хэн ч чамд ойлгуулж чадахгүй. Би тоонууд сайхан гэдгийг мэдэж байна. Хэрэв тоо сайхан биш бол юу ч тийм биш."

Математикийн салбарууд

Хятад сампин. Эхний үеийн математик нь бүхлээрээ практик тооцоо хийхтэй холбоотой байсан.

Дээр дурдсанаар математикийн гол салбарууд татвар ба худалдаатай холбоотой тооцоо хийх, тоонуудын хоорондох харьцаа хамаарлуудыг ойлгох, газрыг хэмжих, одон орны үзэгдлүүдийг урьдчилан хэлэх шаардлагуудаас үүдэн бий болсон. Эдгээр шаардлагуудыг барагцаагаар тоо хэмжээ, бүтэц, огторгуй, ба өөрчлөлтийн судалгаануудад (ө.х. арифметик, алгебр, геометр, ба анализ) харгалзуулж болно. Эдгээр гол хэсгүүдээс гадна математикийн цөмөөс бусад салбарууд руу холбогдсон холбоог судлах зорилготой дэд хэсгүүд бий: логик, олонлогийн онолтой холбоотой тулгуур салбарууд, төрөл бүрийн шинжлэх ухааны туршлагын математиктай холбоотой хэрэглээний математик гэх мэт.

Тоо хэмжээ

Тоо хэмжээний судлал нь бидний мэдэх натурал тоонууд, бүхэл тоонууд ба тэдгээр дээр хийгдэх арифметик үйлдлүүдээр эхлэх бөгөөд энэ нь арифметикийг төрүүлнэ. Бүхэл тоонуудын илүү гүнзгий шинж чанаруудыг тооны онол судлах ба Фермагийн сүүлчийн теорем гэх мэт үр дүнгүүдийг гаргадаг. Тооны онолын алдартай бодогдоогүй бодлогуудад хос энгийн тооны болон Гольдбахын таамаглалууд орно.
Тоон системийн цаашдын хөгжил бүхэл тоонуудыг рациональ тоонууд буюу "бутархай" тоонуудын дэд олонлог болгоход хүргэсэн. Рациональ тоонууд нь мөн өөрийн ээлжинд тасралтгүй тоо хэмжээг илэрхийлдэг бодит тоонуудад агуулагдана. Бодит тоонууд нь комплекс тоонууд руу өргөтгөгддөг. Энэ шаталсан дараалал цаашаа кватернион ба октонион хүртэл явна. Нөгөө талаас натурал тоонуудын судлал төгсгөлгүй хүртэл тоолохыг формальжуулдаг трансфинит тоонуудад хүргэдэг. Хэмжээний судлал кардинал тоонуудыг оруулдаг бөгөөд энэ нь төгсгөлгүй том хэмжээтэй олонлогуудыг хооронд нь харьцуулах боломж олгодог альеф тоонуудад хүргэнэ.

$1, 2, 3\,\!$	$-2, -1, 0, 1, 2\,\!$	$-2, \frac{2}{3}, 1.21\,\!$	$\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5},\!$	$-e, \sqrt{2}, 3, \pi\,\!$	$2, i, -2+3i, 2e^{i\frac{4\pi}{3}}\,\!$
Натурал тоонууд	Бүхэл тоонууд	Рациональ тоонууд	Иррациональ тоонууд	Бодит тоонууд	Комплекс тоонууд

Бүтэц

Олонлог, функц гэх мэт олон математик объектууд өөрийн дотоод бүтэцтэй байдаг. Ийм объектуудын бүтцийн шинж чанаруудыг бүлэг, цагираг, ба талбар болон бусад абстракт системүүдийн тусламжтай судалдаг. Эдгээр нь өөрсдөө мөн математик объектууд болох бөгөөд эдгээрийн судалгаа абстракт алгебрыг бүрдүүлнэ. Нэг чухал ойлголт бол векторууд ба эдгээрийг вектор огторгуй болгож өргөтгөн шугаман алгебрт судална. Векторуудын судалгаа нь тоо хэмжээ, бүтэц, огторгуй гэсэн математикийн гурван үндсэн судлагдахууныг нэг дор авч үздэг. Цаашилбал вектор тоололд дөрөвдэх үндсэн судлагдахуун болох өөрчлөлтийг мөн авч үздэг байна.


Тооны онол	Абстракт алгебр	Бүлгийн онол	Эрэмбийн онол

Огторгуй

Огторгуйн судалгаа нь геометрээс, тухайлбал Евклидийн геометрээс эхлэлтэй. Тригонометр нь огторгуй, тоо хоёрыг хооронд нь холбодог ба бидний сайн мэдэх Пифагорын теорем дээр үндсэндээ тулгуурладаг. Огторгуйн тухай орчин үеийн онолууд эдгээр санаануудыг өргөтгөн олон хэмжээст геометр, Евклидийн биш геометрууд (энэ геометрууд харьцангуйн ерөнхий онолд гол үүрэг гүйцэтгэдэг) ба топологийг судалдаг. Аналитик геометр, дифференциал геометр, болон алгебрлаг геометрт тоо хэмжээ ба огторгуй хоёул чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Дифференциал геометр нь ширхэг багц ба цогцос дээрх тооллыг агуулна. Алгебрлаг геометр нь геометрын объектуудыг олон гишүүнт тэгшитгэлүүдийн шийдийн олонлогоор дүрсэлснээр тоо хэмжээ ба огторгуйг хооронд нь холбоод зогсохгүй топологи бүлгийн тухай судалж бүтэц ба огторгуйг хооронд нь холбодог байна. Ли бүлгүүдийг огторгуй, бүтэц, өөрчлөлтийг зэрэг судлахад ашигладаг. Топологи нь бүх дүрс хувирлуудынхаа хамт магадгүй XX зуунд хамгийн их хөгжсөн математикийн салбар юм. Энд жишээлбэл удаан хугацаанд шийдэгдээгүй байсан Пуанкарьегийн таамаглал ба компьютерээр баталсан боловч хүн хэзээ ч баталгааг нь шалгаагүй дөрвөн өнгийн теорем зэрэг хамрагдана.


Геометр	Тригонометр	Дифференциал геометр	Топологи	Фрактал геометр

Өөрчлөлт

Өөрчлөлт хувьслыг ойлгож тайлбарлах асуудал нь байгалийн шинжлэх ухааны нийтлэг асуудал бөгөөд интеграл ба дифференциал тоолол нь яг үүнийг судлахын тулд бий болгосон хүчтэй хэрэгсэл юм. Өөрчлөгдөж байгаа хэмжигдэхүүнийг илэрхийлэх тулгуур ойлголт болгон функцийг энд оруулж ирдэг. Бодит тоонууд ба бодит утга авдаг функцүүдийн судалгааг бодит анализ гэдэг бөгөөд комплекс тоотой холбоотой ийм салбарыг нь комплекс анализ гэж нэрлэдэг. Математикийн хамгийн тулгуур шийдэгдээгүй асуудлуудын нэг болох Риманы таамаглал комплекс анализаас урган гарсан. Функционал анализ нь функцүүдийн (ерөнхийдөө төгсгөлгүй хэмжээстэй) огторгуй дээр төвлөрдөг бөгөөд үүний нэг хэрэглээ нь квант механик юм. Нийтлэг илэрдэг тоо хэмжээ болон түүний өөрчлөлтийн хоорондох холбоог дифференциал тэгшитгэл болгож судалдаг. Байгалийн олон үзэгдэл динамик системээр илэрхийлэгддэг. Эдгээр системүүд ямар үед детерминистик боловч урьдчилж таахын аргагүй шинж байдал үзүүлэх вэ гэдгийг хаосын онолд судална.


Интеграл ба дифференциал тоолол	Вектор тоолол	Дифференциал тэгшитгэл	Динамик систем	Хаосын онол

Тулгуур салбарууд ба философи

Бүх математикийн дээр нь тогтож байгаа үндэс суурийг тодорхой болгохын тулд математик логик ба олонлогийн онол, мөн одоогоор бүрэн төгөлдөржөөгүй байгаа категорийн онолыг үүсгэжээ.
Математик логик нь математикийг хатуу аксиомчилсан системийн хүрээнд авч үзэх ба үүнээс гарах үр дагавруудыг судалдаг. Энд жишээлбэл логикийн хамгийн алдартай үр дүн байж мэдэх Гёделийн гүйцэд бусын хоёрдугаар теорем хамаарагдана. Энэ теорем нь (барагцаагаар хэлбэл) үндсэн арифметикийг багтаасан дурын формаль систем хэрэв уг системд баталж болох бүх теорем үнэн бол уг систем дотор батлах боломжгүй, үнэн теоремууд оршин байна гэдэг. Гёдель тооны онолын дурын аксиомууд өгөгдсөн байхад уг аксиомуудаас гарахгүй, тооны онолын үнэн баримтыг илэрхийлэх логик өгүүлбэрийг яаж байгуулахыг зааж өгсөн. Иймд ямар ч формаль систем тооны онолын жинхэнэ аксиомчлал болж чадахгүй юм. Орчин үеийн логик нь рекурсын онол, моделийн онол, ба баталгааны онол гэж хуваагддаг бөгөөд онолын компьютер судлалтай нягт холбоотой оршдог.

$P \Rightarrow Q \,$
Математик логик	Олонлогийн онол	Категорийн онол

Дискрет математик

Дискрет математик нь ерөнхийдөө онолын компьютер судлалд хэрэглэгддэг математикийн салбаруудыг нэрлэсэн нэр юм. Үүнд тооцоологдох байдлын онол, тооцооллын нийлмэл байдлын онол, ба мэдээллийн онол багтана. Тооцоологдох байдлын онол нь одоогоор мэдэгдэж байгаа хамгийн хүчирхэг загвар болох Тюрингийн загварыг оролцуулан компьютерийн төрөл бүрийн онолын загваруудын боломжийн хязгаарыг судалдаг. Нийлмэл байдлын онол нь компьютер ашиглан бодлогуудыг бодох үед зарцуулах өртгийг судална. Зарим бодлогыг зарчмын хувьд компьютерээр бодож болох боловч практик дээр компьютер хичнээн ч хөгжлөө гэсэн бүтээх аргагүй их санах ой болон цаг хугацаа шаардахаар байж болдог. Өгөгдсөн орчинд хэр их хэмжээний мэдээлэл хадгалж болох вэ гэдгийг мэдээллийн онол судлах ба өгөгдлийг шахах, энтропи гэх мэт ойлголтуудыг оруулж ирдэг.
Харьцангуй шинэ салбар тул дискрет математикт шийдэгдээгүй тулгуур асуудлууд нилээд бий. Эдгээрээс хамгийн алдартай нь Мянганы Шагналт Бодлогуудын нэг болох "P=NP?" бодлого юм.

$\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix}$
Комбинаторик	Тооцооллын онол	Криптограф	Графын онол

Хэрэглээний математик

Шинжлэх ухаан, бизнес болон бусад салбарт математикийн абстракт аппаратыг ашиглах явдлыг хэрэглээний математикт авч үздэг. Хэрэглээний математикийн нэг чухал салбар нь статистик бөгөөд энд магадлалын онолыг ашиглан тохиолдох эсэх нь тодорхойгүй үзэгдлүүдийг тайлбарлах, шинжлэх, урьдчилсан таамаг гаргах талаар судална. Ихэнх туршилт, хайгуул, болон ажиглалтууд статистикийн ядаж анхан шатны мэдлэг шаарддаг. Ерөнхийдөө хүний тооцон бодох чадвараас хэт давсан төрөл бүрийн математикийн бодлогуудыг хэмнэлттэйгээр тооцоолох аргуудыг тоон анализ судалдаг. Энд тухайлбал тоймлолын алдаа болон бусад алдааны эх үүсвэрүүдийг шинжлэх явдал орно.